Antes de empezar el temario de Matemáticas del CAD hay que ejercitarse con el álgebra básica

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, a quien se atribuye la invención del álgebra

De nada sirve que dominemos las reglas de derivación si en un ejercicio de derivadas nos equivocamos en un paso algebraico (por ejemplo, sumando una fracción o aplicando una regla de operación con potencias).
Aunque estemos muy impacientes por empezar los temas del temario del que nos van a examinar, es absurdo iniciar la construcción de la casa por el tejado. Llegará un momento en que el temario “nos vendrá grande” y no tendremos más remedio que volver al lugar desde donde deberíamos haber principiado esta andadura. Habremos perdido un tiempo precioso. En muchos casos se tira la toalla.
La experiencia demuestra que lo/as estudiantes han olvidado las reglas de álgebra más elementales. Por ejemplo, es común ver errores como este:

en vez de

ya que hay que saber que en expresiones como la anterior, la operación de multiplicación hay que realizarla antes que la de la suma excepto que un paréntesis indique la prioridad de la suma:

Otro ejemplo: no es lo mismo

que

Todas estas “reglas del juego matemático” se aprenden con el ejercicio.
En el libro de Apuntes que recomendamos en estas páginas, en el primer tema pueden encontrarse apartados explicativos de estas reglas y consejos como los siguientes.



Y en el primer tema del libro del Método figuran muchos ejercicios de este tipo (solucionados) para ir adquiriendo práctica con las reglas algebraicas básicas. Por ejemplo:

http://www.lulu.com/spotlight/jmgavira

Emily Noether, una de las principales especialistas en Álgebra del siglo XX

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En esta página pueden encontrarse las reglas principales del álgebra.

Ecuaciones, inecuaciones, potencias y raíces

Aunque en este tema lo más importante son las ecuaciones y las inecuaciones, lo más fundamental son las potencias, las raíces y los logaritmos.
En realidad, las raíces se pueden tratar como potencias mediante esta sencilla propiedad:

Y las siguientes propiedades de las potencias permiten trabajar con ellas:

En cuanto a los logaritmos, esta son sus propiedades fundamentales:

Respecto a las inecuaciones no debe olvidarse que si se multiplican sus dos términos por un número negativo es preciso cambiar el sentido de la inecuación (> por < o viceversa).

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En YouTube se pueden encontrar varios vídeos sobre cómo solucionar ecuaciones. Pegamos aquí algunos:

Y finalmente, aquí se puede encontrar un vídeo sobre mujeres matemáticas.

Conjuntos e introducción a las funciones

Conjunto de Mandelbrot

Muchos problemas de Probabilidad se pueden resolver empleando las herramientas de la Teoría de Conjuntos. Hay que tener claras algunas operaciones como la unión, la intersección y la diferencia de conjuntos y propiedades como:

En cuanto a las funciones, las propiedades de suma, resta, multiplicación y división no deben plantear demasiados problemas porque se basan en las reglas algebraicas más elementales (las propiedades de las potencias; sumar letras con letras y números con números, etc.). Sí hay que aprender y dominar la operación de composición de funciones y la obtebción de la inversa de una función.
Copiamos dos fragmentos de los Apuntes para ilustrar estas operaciones.

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En esta página se recoge la historia de la teoría de conjuntos, sus curiosas paradojas y cómo se resolvieron.

Combinatoria

La Combinatoria es una rama de las Matemáticas que permite contar rápidamente conjuntos de números. Como la Teoría de Conjuntos, también es útil para resolver problemas de Probabilidad.
Lo que más suele costar al alumno es diferenciar qué problemas se resuelven aplicando la fórmula de las variaciones, cuáles por permutaciones, cuáles por combinaciones…
Es en el enunciado de cada problema donde debemos averiguar si se debe resolver por combinaciones, variaciones, etc.

1. Se resolverá por combinaciones si el orden en que se escriban los elementos del conjunto para formar cada subconjunto no es relevante; en los casos en que sí lo sea, se resolverá por variaciones o por permutaciones.
2. Si el orden no ha de ser tenido en cuenta y los elementos no deben repetirse, el problema es de combinaciones sin repetición; si se pueden repetir cuantas veces se quiera, es de combinaciones con repetición.
3. Si el orden ha de ser tenido en cuenta y no se repiten los elementos, el problema es de variaciones sin repetición. (Si se quiere, puede desdeñarse el concepto de permutaciones sin repetición, pues son el caso particular de las variaciones sin repetición en que se usan todos los elementos que nos dan.)
4. Si el orden es decisorio y se repiten los elementos, el problema es de variaciones con repetición o de permutaciones con repetición. Si cada elemento se puede repetir cuantas veces se quiera, es del primer tipo; si se debe repetir un número fijo de veces, determinado en el enunciado del problema, es del segundo tipo.

Por ejemplo, si nos piden calcular cuántas palabras de dos letras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras A, B, C y D, sin repetirlas, se trata de un ejercicio de variaciones (sin repetición)porque el orden en que se escriban los elementos (las letras) es fundamental (no es la misma palabra DA que AD). Pero si nos piden calcular cuántas parejas se pueden formar con un grupo de 4 personas denominadas A, B, C y D, se trata de un problema de combinaciones (sin repetición) porque la pareja D,A es la misma que la A,D (es decir, no importa el orden en que escriba los componentes de la pareja).

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Aquí puedes encontrar una excelente página sobre Combinatoria. También es muy buena esta. Esta otra página contiene curiosos juegos y acertijos relacionados con la combinatoria y la probabilidad. Y en esta puedes realizar cálculos de combinatoria.

Probabilidad

Galileo Galilei

Para resolver problemas de Probabilidad es fundamental tener claro cuál es el espacio muestral en cada caso. El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos posibles equiprobables de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, si lanzamos un dado al aire, el espacio muestral es:
E = {1,2,3,4,5,6}
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, el suceso “salir par” es:
Spar = {2,4,6}
Y la probabilidad de un suceso se calcula dividiendo el número de elementos del subconjunto sucesos entre el número de elementos del espacio muestral. En este caso, la probabilidad de que al lanzar un dado salga par es 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%.
Las mayores dificultad de los problemas de probabilidad consisten en:

1. Saber construir adecuadamente el espacio muestral y el subconjunto del suceso correspondiente. Los elementos del espacio muestral (sucesos elementales) tienen que tener todos la misma probabilidad de ocurrir (es decir, deben ser equiprobables).
2. Contar los elementos del conjunto muestral y del subconjunto suceso. Para ello podemos ayudarnos en algunos casos de la combinatoria y en otros simplemente de la lógica.

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Aquí hay una página muy interesante sobre probabilidad y juego y los orígenes de la teoría de probabilidades.

Estadística

Los ejercicios de Estadística suelen ser sencillos pero laboriosos (no suelen ponerlos en los exámenes de la UNED). Normalmente se trata de calcular alguna medida estadística de alguna distribución (conjunto de datos) que nos dan. Las medidas más elementales son:

• Media
• Mediana
• Moda
• Desviación, desviación media
• Varianza
• Desviación típica
• Coeficiente de variación

Una de las distribuciones de datos más útiles es la llamada normal o gaussiana, en la que los datos se distribuyen simétricamente alrededor de un valor central cuya frecuencia es máxima. Se representa mediante un gráfico como el siguiente:

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En esta página podéis encontrar una calculadora estadística. En esta otra, algunas frases de Churchill contra la Estadística.

Matrices y determinantes

Las matrices son ordenaciones de números en filas y columnas. La trivialidad que aparentemente oculta la definición no debe engañarnos sobre la importancia real de esta poderosa herramienta matemática que sirve desde para resolver sistemas de ecuaciones hasta para describir la estructura de un átomo.
Se pueden realizar distintas operaciones con matrices (sumarlas, multiplicarlas, calcular la matriz adjunta de una dada, su inversa…). Pero quizá la operación más importante es hallar el determinante de una matriz, lo que se hace de este modo (en una matriz de orden 3, es decir, de tres filas y tres columnas):

Otra operación fundamental en este curso es saber calcular el rango de una matriz. El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz que podamos encontrar dentro de ella con determinante distinto de cero. Por ejemplo, el rango de la matriz

es 2 porque:

1. El determinante de esta matriz de orden 3 es 0, luego su rango no puede ser 3, sino menor.
2. Es posible encontrar dentro de esta matriz alguna submatriz de orden 2 (dos filas y dos columnas) con determinante distinto de cero.

Werner Heinsenberg, creador de la Mecánica de Matrices para explicar la estructura del átomo

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Aquí hay una buena página sobre álgebra de matrices.
Aquí puede verse un procedimiento fácil para resolver un determinante de una matriz de orden 3:

Sistemas de ecuaciones

Gabriel Cramer, creador del método de resolución de ecuaciones que lleva su nombre

Se han ideado muchos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Uno de los mejores es el de Cramer. Sea el siguiente sistema:

cuya matriz de los coeficientes es:

Pues bien, cada incógnita se resuelve como un cociente de dos determinantes:
--denominador: determinante de la matriz de los coeficientes;
--numerador: determinante de la matriz de los coeficientes pero cambiando una de sus columnas por la de los términos independientes (m, n, p); para solucionar la x se cambia la primera columna; para la y, la segunda; y para la z, la tercera.
Por ejemplo, para la x:

Por otro lado, hay tres tipos de sistemas de ecuaciones según el número de soluciones:

Para saber de qué tipo es cada sistema, se halla el rango de la matriz de los coeficientes (rC) y el de la “ampliada” (rA) (esta es la de los coeficientes ampliada con una columna adicional en la que se escriben los términos independientes (números en el segundo término de las ecuaciones). Estos valores se comparan con el número de incógnitas (n). Pueden darse los siguientes casos:

Una ecuación es una igualación. En la figura, parece que el peso de la señora es la incógnita en el término de la izquierda que compensa el peso del término de la derecha.

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Aquí se puede encontrar un applet que permite resolver sistemas de ecuaciones de hasta 10 incógnitas.

Trigonometría

“Trigonometría” significa “medida de tres ángulos”; es, pues, originariamente, la “ciencia de los triángulos”.
En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos se define como el valor del cateto opuesto dividido por el de la hipotenusa; el coseno, como el valor del cateto contiguo dividido por la hipotenusa; y la tangente como el cateto opuesto dividido por el contiguo (o, lo que es lo mismo, como el seno dividido por el coseno). Seno, coseno y tangente se llaman razones trigonométricas. Todo ángulo entre 0 y 360º (o, lo que es lo mismo, entre 0 y 2p radianes) tiene un valor de cada una de estas razones trigonométricas. Otras razones interesantes son la cosecante (inversa del seno), secante (inversa del coseno) y cotangente (inversa de la tangente).
Las razones trigonométricas de los ángulos “principales”, expresados en grados, son:

Existen interesantes relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. Por ejemplo:

Los antiguos pudieron medir la altura de las pirámides gracias a la Trigonometría

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Esta es una página interesante sobre los orígenes históricos de la Trigonometría.

Números complejos

“Calculadora de números complejos” (1940)

Se define el número complejo i como la raíz cuadrada de –1:

Lógicamente, no se trata de ningún número real. En general, se define un número complejo como una expresión que tiene una parte real y una parte imaginaria:

(a es la parte real; b es la parte imaginaria). Esta forma se llama binómica.
Aunque un número complejo no es un número real, sí lo son todas sus potencias pares (pero no las impares). Por ejemplo:

El número complejo a+bi puede representarse gráficamente como el punto (a,b) en un sistema de coordenadas.

Representación gráfica de los complejos 4+2i y –2-2i

Los números complejos también admiten la llamada forma trigonométrica:

siendo

La forma trigonométrica es ideal para efectuar operaciones con números complejos como la multiplicación, división, potencia y raíz; la binómica es más adecuada para sumarlos y restarlos.

Girolamo Cardano, uno de los primeros matemáticos que trató los números complejos

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Esta es una buena web sobre números complejos. Y aquí hay una historia de los números, incluidos los complejos.

Vectores

Un vector es un segmento orientado que tiene un origen (normalmente el punto (0,0) de un sistema de coordenadas) y un extremo (a,b). Cada vector se caracteriza por las coordenadas de su extremo (sus “componentes”).
El módulo de un vector es “lo que mide”. Se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Los vectores se pueden sumar (sumando componente a componente), restar, multiplicar… Se han definido dos tipos de multiplicaciones de vectores:

• Producto escalar: es el número obtenido al multiplicar componente por componente y sumar estos productos o bien al multiplicar los módulos entre sí y el resultado por el coseno del ángulo que forman los vectores.
• Producto vectorial: es un vector cuyo módulo es el producto de los módulos de los vectores que se están multiplicando y este valor por el seno del ángulo que forman dichos vectores.

Un concepto muy importante es la dependencia y la independencia lineal de dos o más vectores. Existen diversos criterios para saber si varios vectores son o no linealmente independientes. Uno de ellos es este: n vectores de un espacio Rⁿ son linealmente independientes si la matriz construida con sus componentes tiene determinante distinto de 0.

Se llama base de un espacio vectorial Rⁿ a un conjunto de n vectores linealmente independientes. En dicho espacio se puede construir cualquier vector por combinación lineal de los vectores de una base. (Una combinación lineal es una suma de vectores o de esos vectores multiplicados por números reales).
Los vectores son especialmente útiles en Física (Mecánica) e Ingeniería.

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En esta página se puede encontrar un programa para sumar y restar vectores interactivamente. También en esta (en español).