Muchas sucesiones de número tienen una “lógica de construcción”. Por ejemplo, la sucesión 0,3,8,15,24,35... está formada por los cuadrados de los números naturales 1,2,3,4,5,6… menos 1. En este caso se puede encontrar una “fórmula” que contiene la clave de construcción de la sucesión. En ese caso es:
expresión que se llama “término general de la sucesión”. Mediante ella podemos encontrar cualquier término de la sucesión. Por ejemplo, para conocer el término que ocupa el lugar 10 (que llamaremos a10) basta sustituir n por 10:
Un problema muy interesante es saber cuánto vale el “término infinito” de la sucesión, es decir aquel para el que n vale infinito. Ahora bien, no existe un “número que sea el infinito”. Es decir, el infinito no se puede representar por ningún número; es más bien la idea de un número tan grande como queramos y que es irrepresentable mediante los símbolos numéricos habituales. En vez de eso, se emplea el símbolo especial ∞.
Por ello, no se puede saber cuánto vale el término infinito de una sucesión, pero sí a qué valor tiene cuando n tiende a un valor infinito. El valor al que la sucesión tiende cuando n tiende a infinito se llama límite de la sucesión.
A veces, el límite de una sucesión se puede conocer “por lógica”. Por ejemplo, el límite de la sucesión que hemos tomado como ejemplo es claramente infinito, ya que si imaginamos un número que tiende a infinito (n –> ∞), su cuadrado también tenderá a infinito. En el caso de la sucesión an = 1/n, por lógica está claro que el límite es 0, ya que cuando más alto sea n más bajo será el cociente 1/n. Por lo tanto, en el límite, cuando n tienda a infinito, el cociente 1/n tenderá a 0.
Pero en otros casos, conocer el límite de una sucesión no es sencillo. Por ejemplo, supongamos una sucesión cuyo término general es:
Para calcular su límite escribimos:
Para resolverlo “por lógica” tratemos de sustituir n por un valor que tiende a infinito. Eso nos conduce, en la fracción, a un numerador que tiende a infinito y a un denominador que también tiende a infinito. El valor del límite sería, pues, el resultado de dividir “infinito” entre “infinito” (∞/∞). Pero esa operación puede dar como resultado cualquier cosa. ¿Por qué? Porque depende de “cuán grandes” son cada uno de los dos infinitos, el del numerador y el del denominador. (Nótese que el infinito del numerador tiene que ser más grande que el denominador porque en aquel se suma “tres veces infinito al cubo” más “dos veces infinito” mientras que abajo simplemente se multiplica “dos por infinito al cubo” (el 1 que se resta en el denominador no significa nada frente a estos valores “inmensos”). Se dice que, en principio, la solución de este límite es indeterminada.
Para determinarla se siguen algunas reglas (que se explican pormenorizadamente en los Apuntes y el Método). En este caso, conviene dividir numerador y denominador por n elevado al cubo y, operando algebraicamente, eso nos permite determinar el valor de este límite:
donde, en la operación final, hemos tenido en cuenta que el resultado de dividir cualquier número natural entre infinito tiende a cero.
¿Tiene límites el Universo?
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