Funciones y polinomios

Una función es una expresión algebraica cuyo valor depende solamente del valor que tome una variable independiente x. Se llama función de x y se representa f(x). Por ejemplo, es una función:

que vale 15 cuando x = 2 (basta sustituir x por 2).
Una función no siempre está definida para todos los valores de la variable independiente. Por ejemplo, la función f(x) = 3/x no está definida para x = 0 porque no se puede dividir 1 entre 0 (no se pueden dividir 3 caramelos ¡entre cero niños!). El conjunto de valores de x para los que la función está definida se llama dominio de la función.
Toda función admite una representación gráfica. Por ejemplo, la función

puede representarse dando valores arbitrarios a la variable independiente (x) y calculando los correspondientes a la función (f(x)). Cada pareja de valores se puede representar, entonces, en un diagrama cartesiano (la función, en el eje Y). El resultado es, en este caso:

Con las funciones se pueden efectuar múltiples operaciones (sumar dos, restarlas, multiplicarlas, dividirlas, calcular la función inversa de una función dada, su logaritmo, etc.)
Unas funciones muy interesantes son los polinomios, que consisten en una suma de términos en los que la variable independiente está elevada a alguna potencia (incluida la potencia 0, que es el término independiente):

El grado del polinomio es el valor del exponente más alto que contiene.
En este curso, la operación más importante que se realiza con los polinomios es factorizarlos. Esto consiste en transformarlos algebraicamente de modo que un polinomio como el anterior se pueda expresar como:

donde las r se denominan raíces del polinomio y son valores que hay que determinar. Un polinomio tiene tantas raíces como sea su grado. Para determinar las raíces de un polinomio existen varios métodos. Si el polinomio es de segundo grado, basta igualarlo a cero; las soluciones de la ecuación de segundo grado obtenida serán las dos raíces del polinomio. Si es de grado superior se puede intentar aplicar el llamado método de Ruffini.
La factorización de un polinomio tiene dos aplicaciones muy importantes: conocer su signo (+ o –) para cualquier valor de la variable entre -∞ y +∞ y descomponer de funciones racionales (cocientes de polinomios) en fracciones parciales más simples. Esto es especialmente útil para resolver ciertos tipos de integrales.

Las funciones tienen aplicación en todos los campos. Por ejemplo, el económico. Esta función, decreciente desde principios de 2007, revela los efectos de la actual crisis económica.

Enlaces

En esta página se explican muchos métodos útiles para factorizar polinomios, incluido el de Ruffini. Y en esta otra, cómo descomponer polinomios en fracciones simples.