Límite de funciones

Los límites de las funciones guardan bastante relación con los de las funciones (al fin y al cabo, la expresión funcional del término general de una sucesión es análoga a la de una función). Incluso determinadas técnicas para solucionarlos son las mismas.
El límite de una función cuando la variable independiente x "tiende" a un valor a es el valor al que tiende la función en ese caso. Por ejemplo:

En realidad, para que el límite anterior exista, deben coincidir los llamados límites laterales. El límite lateral cuando "x tiende a a por la derecha" (x-->a+) es el que se obtiene cuando suponemos el valor de x está infinitamente próximo al valor a pero es algo mayor¡ que a. Y el límite lateral cuando "x tiende a a por la izquierda" (x-->a-) es el que se obtiene cuando suponemos el valor de x está infinitamente próximo al valor a pero es algo menor. Veamos a continuación un ejemplo de una función en la que sus límites laterales no coinciden.
Sea la función

El límite lateral por la izquierda es

Esto es así porque los valores de x cuando nos acercamos a 1 por su izquierda derecha son siempre menores que 1, de modo que cuando x –> 1- nos estamos refiriendo al valor 0,9999999999999… Al restar 1-0,9999999999999… se obtiene un valor que tiende a 0, pero positivo. De modo que al dividir 2 por ese valor tendente a 0 se debe obtener un valor que tiende a infinito pero positivo.
A una argumentación análoga se puede recurrir para demostrar que

Esto se entiende mejor cuando se representa gráficamente la función:

Si “viajamos” por el trazo izquierdo de la función hacia la derecha, observamos que a medida que nos acercamos al punto x = 1 la función va creciendo, de modo que cuando x tiende a 1 por su izquierda, el valor de la función tiende de a “más infinito”. Pero si viajamos por el trazo derecho hacia la izquierda, para x tendente a 1 por su derecha la función tiende a “menos infinito”.
Por lo tanto, el límite

se dice que no existe. Es decir, la función considerada no tiene límite para x –> 1.
En límite de funciones, las indeterminaciones más comunes son ∞/∞, ∞-∞, 0/0 y 1 elevado a ∞. Esta última es especialmente interesante. Para resolverla se puede tener en cuenta que el límite de una expresión del tipo

cuando t tiende a infinito es el número e o bien aplicar la fórmula:


Explicación del cálculo de un límite por Fonemato

Enlaces

En esta página se explican cómo calcular el límite de una función según el tipo de indeterminación. También en La pizarra de Fonemato, en este caso de una manera muy simpática y con vídeos.