Estudio de funciones

Dada una función, se puede conocer en qué intervalos es creciente y decreciente, qué valores máximos y mínimos tiene, en qué intervalos es cóncava y en cuáles convexa; cuáles son (si es el caso) sus puntos de inflexión o si tiene asíntotas (una recta con las que tiende a confundirse la curva que representa a la función).
Las siguientes imágenes ilustran estas características para dos funciones:


Aunque la representación gráfica da una idea visual de los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad, etc., estos intervalos se pueden determinar exactamente de forma analítica. Para ello, hay que saber que:

• Una función es creciente en aquellos intervalos en que su derivada primera es positiva, y decreciente si es negativa.
• Una función tiene un máximo en el punto en que pasa de ser creciente a decreciente, y un mínimo en el que pasa a ser de decreciente a creciente. Además, la derivada de una función en un punto máximo o mínimo es 0. Si además la derivada segunda en ese punto es negativa, el punto es un máximo, y si es positiva, un mínimo.
• Diremos que una función es cóncava cuando su traza, “vista” desde la parte negativa del eje Y, tiene forma de "cavidad". Según ese criterio, una función es cóncava en aquellos intervalos en que su derivada segunda es negativa, y convexa si es positiva.
• Una función tiene un punto de inflexión donde pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. La derivada segunda de una función en un punto de inflexión es 0. Pero lo contrario no siempre es verdadero. Si la derivada tercera en ese punto es distinta de 0, entonces efectivamente el punto es de inflexión. (Si la derivada tercera es 0, también puede serlo; en ese caso hay que recurrir a otro método para averiguarlo: observar si antes del punto la función es cóncava y después de él convexa, o viceversa.)
• Para saber si determinada recta es asíntota de una función hay que hacer ciertos cálculos referidos al límite de la función.

Dos puntos de inflexión cotidianos (Fotos.)

Enlaces
En esta página se explica cómo determinar los puntos de inflexión de una función. Y esta es una buena web interactiva que enseña a calcular asíntotas.